contra leporem
Multum loqui "lepore oppositorum", et non solum in mathematicis. Memento quod numeri oppositi sunt qui solo signo differunt: plus 7 et minus 7. Summa numerorum oppositorum nulla est. Sed nobis reciprocis magis iucunda sunt (i.e. mathematici. Si productio numerorum sit aequalis 1 , hi numeri inter se sunt inversi. Omnis numerus habet suum oppositum, omnis numerus non nullus habet suum inversum. reciprocum reciprocum est semen.
Inversio fit ubi duae quantitates ad se invicem referuntur, ut si una crescat, altera decrescat ad debitam ratem. "Relevare" significat productum harum quantitatum non mutare. Ex scholis meminimus: haec est inversa proportio. Si bis celerius ad destinatum meum pervenire cupio (i.e. secare tempus in medium), opus est mihi celeritatem meam duplicare. Si vas obsignatum cum gas temporibus n minuitur, pressionis ejus n temporibus augebitur.
In educatione elementaria inter differentias et relativas comparationes diligenter distinguimus. "Quanto magis"? - "Quam multa tempora?"
Hic sunt actiones quaedam scholae:
1 officium. Ex duobus valoribus positivis, Primus est 5 partibus major secundo et simul 5 temporibus primo major. Quae sunt dimensiones?
2 officium. Si unus numerus est 3 major secundo, et secundus major tertio, quanto major primus est tertius? Si primus numerus positivus bis secundus est, et primus tercius tercius est, quotiens primus numerus maior est quam tertius?
3 officium. In munere 2 tantum numeri naturales permittuntur. Estne talis dispositio qualis ibi fieri potest?
4 officium. Ex duobus valoribus positivis, quorum primus est 5 septies secundus, secundus est 5 temporum primus. Estne possibile?
Notio "mediocris" vel "mediocris" valde simplex videtur. Si 55 km die Lunae, 45 km die Martis, et 80 km die mercurii revolvi, in mediocris 60 km per diem revolvi. Cum his calculis ex animo consentimus, tametsi parum mirum est quod LX km uno die non deieci. Hominis portiones minus facile accipimus: si ducenti homines intra sex dies cauponam invisunt, mediocris cottidiana est 60 et tertia populus. Hem!
Sunt problemata tantum cum magnitudine mediocris. Mihi placet revolutio. Itaque oblationem procurationis cepi "Eamus nobiscum" - sarcinas in deversorium liberant, ubi cliens birotam ad ludicras usus vehit. Veneris die per quattuor horas eieci: duas primas ad celeritatem 24 km per horae. Tunc ita defessus sum ut duobus proximis ad minimum tantum 16 per horam. Quaenam fuit mediocris celeritas mea? Scilicet (24+16)/2=20km=20km/h.
Sabbato autem sarcinae in deversorio relictae sunt et ad ruinas castri, quod 24 km aberat, videre profectus sum et eas viso redii. Horam unam in unam partem eieci, cum celeritate 16 km per horae tardius redii. Quaenam fuit mea celeritas mediocris in itinere deversorio-castelli? XX km per hora? Certe non. Post omnia eieci summam quadraginta annorum quadraginta et hora me (“ibi”) accepit et horae et dimidiae reversa est. 20 km in duabus horis et dimidia, i.e. hora 48/48=48/2,5=192 km! In hoc situ, celeritas mediocris non est medium arithmeticum, sed valorum datorum harmonica;
et haec duplex formula sic legi potest: medium harmonicum numerorum positivorum est medium arithmeticum reciprocum reciprocum. Reciprocus summae reciprocum in multis choris gymnasiorum gymnasiorum apparet: si unus operarius horas fodit, alter ergo horae cooperantes, tempus fodunt. piscinae aquae (una per hora, altera ad b horas). Si unus resistor habet R1 & alter R2, parallelam habent resistentiam.
Si unus computatorius potest problema solvere in secundis, alius computator in secundis b, tunc cum una operantur...
Prohibere! Hoc est ubi analogia finitur, quia omnia a celeritate retis pendent: efficientia nexuum. Operarios etiam impedire vel adiuvari possunt. Si unus homo per octo horas puteum fodere potest, id facere possunt octoginta operarii horae 1/10 horae (vel 6 minutae)? Si sex ianitores piano ad primam tabulam in 6 minutis accipiant, quousque unus ex eis ad sexagesimum tabulam piano tradet? Absurditas talium quaestionum admonet limitatam applicabilitatem omnium mathematicarum ad problemata "de vita".
Carissimi venditor
Squamae iam non sunt usus. Recole pondus in una phiala talium squamarum impositum, et bona pensata super alia, et cum pondus fuerit in aequilibrio, tunc pensantur quantum ad pondus. Utique bracchia oneris utrunque longitudinis esse debent, alioquin ponderatio falsa erit.
O dextra. Finge salesperson qui inaequale pressionibus pondus habet. Attamen cum clientibus honestus esse vult et bona in duabus batches expendit. Primo ponit pondus in una sartagine, et in altera quantitatem bonorum, ut libra sint in libra. Deinde pensat secundo ordine retrogrado bonorum medietatem, id est, ponit pondus in secunda phiala, et bona in prima. Cum manus inaequales sunt, dimidiatae numquam aequales sunt. Et conscientia venditoris manifesta est, et emptores honestatem suam laudant: "Quod hic sustuli, tunc addidi."
Sed propius inspiciamus mores venditoris, qui precario pondere honestum esse vult. Brachia trutinae habeant longitudinem a et b. Si phialarum una pondere kilogrammis oneratur et altera bonis x, squamae sunt in aequilibrio, si ax = b primo et bx = secundo. Prima igitur pars bonorum = b / kilogramme , secunda pars est / b. Bonum pondus habet = b, ergo emptor bona 2 kg recipiet. Videamus quid acciderit quando a b. Deinde a - b 0 et ex multiplicatione reducta formulam habebimus
Ad eventum inopinatum venimus: aequum videtur methodus mensurae "medii" in hoc casu ad utilitatem emptoris operantis, qui plura bona recipit.
profecta 5. (Maximus, minime mathematicus!). Culex 2,5 milligrams ponderat, et elephantus quinque talenta (hoc satis recte notatur). Medium arithmeticum, medium geometricum, et harmonicum medium conopeum et missarum elephantorum (pondera). Computationes siste et vide an sensum aliquem praeter arithmeticam exercitationes faciant. Alia exempla inspiciamus calculi mathematici qui sensum in "vita reali" non faciunt. Indicium: Vnum exemplum iam vidimus in hoc articulo. Hoccine vult anonymus discipulus cuius sententiam in Interreti inveni recta erat: "Math stulti homines in numeris"?
Ita, assentio mathematicorum magnitudine, posses "stulte" populum - secunda shampoo tabula dicit quod auget fluffitatem aliqua recipis. Etiamne quaeramus alia exempla utilium instrumentorum quotidianorum quae criminalis actione adhiberi possunt?
P.!
Titulus huius loci est verbum (prima persona pluralis) non nomen (pluralis nominativus millesimus chiliogramma). Harmonia ordinem et musicam importat. Apud Graecos antiquos musica pars scientiae fuit - fatendum est si ita dicimus, praesentem vocis "scientiae" significationem transferre ad tempus ante nostram aetatem. Pythagoras in Xnum aCn saeculo vixit, non solum computatorium, telephonum mobile et electronicam scivit, sed etiam nescivit quis Robert Lewandowski, Mieszko I, Carolus Magnus et Cicero essent. Nesciebat aut arabicos aut etiam Romanos numerales (in usum fere XNUMXth century a.C.n. venerunt), nesciebat quid bella Punica essent... Sed musicam sciebat.
Noverat in instrumentis chordis coefficientes vibrationis reciproce proportionales longitudini partium chordarum pulsum. Sciebat, sciebat, modo non poterat exprimere quomodo hodie facimus.
Frequentia chordarum duarum vibrationum quae octavam constituunt sunt in ratione 1:2, id est frequentia notae superioris dupla est frequentia inferioris. Recta vibrationis proportio quinta est 2:3, quarta 3, 4, pura major tertia est 4:5, minor tertia 5:6. Haec sunt iucunda consonantium intervalla. Tunc sunt duae neutrae, cum vibratione proportionum 6:7 et 7:8, deinde dissona - tonus magnus (8:9), tonus parvus (9:10). Hae fractiones sunt sicut proportiones membrorum successivorum sequentis, quos mathematici (hoc ipsum) vocant seriem harmonicam;
est summa speculativa infinita. Proportio oscillationum octavorum scribi potest ut 2:4, et inter eas quintam pone: 2:3:4, hoc est, octavam dividemus in quintam et quartam. Haec divisio in mathematicis portio harmonica dicitur;
Renatus. 1. Pro musico: dividendo octavam AB in quintam AC.Nam Mathematicus: Harmonic Segmentation
Quid dicam cum de summa infinita theoretice loquor, qualis est series harmonica? Evenit ut talis summa quamlibet numerosa esse possit, id quod maximum est diu addimus. Pauciora et pauciora sunt medicamenta, sed plura et plura. Quid valet? Hic ingredimur analysin mathematicam provinciam. Evenit ut lavatur, sed non celerrime. Ostendam quod satis medicamentis sumendo perorare possum;
ad placitum magnum. Sumamus "exempli gratia" n = 1024. Sit scriptor coetus verba quae in figura ostenditur:
In unaquaque parenthesi unumquodque verbum maius est quam priori, excepto tamen ultimo, quod sibi aequale est. In sequentibus uncis habemus 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 et 512 composita; valor summae in unaquaque parenthesi major est quam ½. Haec omnia plusquam 5½. Accuratiores calculi hanc quantitatem circiter 7,50918. Non multum, sed semper, et videre potes quod sumendo n aliquo magno, possum aliquem numerum conficere. Hoc unum est incredibiliter tardus (exempli gratia, decem cum rebus solis), sed infinitum incrementum mathematicos semper fascinavit.
Iter infinitum cum serie harmonica
Hic aenigma est ad math aliquam pulchram gravem. Habemus infinitam copiam stipituum rectangularum (quid dicam rectangularum) cum dimensionibus, dic 4 2 × 1. Considera systema constantem ex pluribus (in fig. 2 - quatuor) caudices ita dispositi, ut prima ejus longitudinis inclinetur per , secunda superne per et sic deinceps, tertia per sextam. Bene, fortasse ut rem stabilem faciamus, primum paulum lateris inclinatio minus. Non refert ad calculos.
Renatus. 2. De centro gravitatis
Facile etiam est intelligere, cum figura composita e duobus primis stipitibus (superne computatis) centrum symmetriae habere in puncto B, centrum gravitatis esse B; Definiamus geometrice centrum gravitatis systematis tribus superioribus caudices compositum. Simplicissima ratio hic sufficit. Mentes compositionem trium scandalorum in duas superiores et tertiam inferiorem dividamus. Hoc centrum jacere debet in sectione centra gravitatis duarum partium connexione. Quo in loco hoc facto?
Dupliciter designare. In prima observatione utemur, quod hoc centrum jacere debet in medio trium pyramidis, i.e., in linea recta secante secundum, medium scandalum. Secundo modo intelligimus quod cum duo superiores caudices habeant totam molem dupla unius trunci #3 (top), centrum gravitatis in hac sectione esse duplam tam prope B quam ad centrum. S tertii scandalum. Similiter punctum proximum invenimus: centrum inventum trium caudices cum centro S quarti scandali coniungimus. Centrum systematis totius est in altitudine 2 & in puncto quod segmentum ab 1 ad 3 dividit (id est per longitudinis ejus).
De calculis, quos paulo amplius exequemur, ad eventum in Fig. fig. Consecutiva gravitatis centra a dextro margine inferioris trunci submoventur;
Sic proiectio centri gravitatis pyramidis semper est intra basim. Turris non sternet. Nunc videamus fig. 3 et ad momentum utamur quinto trunco a summo ut basis (nobiliori colore notata). Vertice inclinato;
ita sinistra ejus margo 1 longius est quam basis dextrae ima. Hic est altera adductius:
Quid est adductius maximus? Jam scimus! Nulla maximus auctor! Sumptis vel minimis caudices, unius kilometri imminentem licebit - proh dolor, solum mathematice: tota terra non sufficeret tot cuneos construere!
Renatus. 3. addere plus caudices
De calculis autem quae supra diximus. Distantias omnes "horizontaliter" in x-axis computabimus, quia totum illud ad illud est. Punctum A (centrum gravitatis primi scandali) est 1/2 a margine dextro. Punctum B (centrum duorum systematis obstructionum) est 1/4 ab ore dextro secundi scandali. Sit initium finis secundi scandali (nunc transibimus ad tertiam). Exempli gratia: ubi est centrum gravitatis simplicis #3? Dimidia igitur huius clausuli longitudo est 1/2 + 1/4 = 3/4 a puncto nostro. Ubi est punctum C? In duabus partibus segmenti inter 3/4 et 1/4, i.e. in puncto ante, punctum in dextro margine tertii scandali mutamus. Centrum gravitatis systematis trium impedimentorum nunc a novo puncto remotum est, et sic porro. Centrum gravitatis Cn turris ex n stipitibus composita est 1/2n ab instantaneo puncto, quod est oras basis basis, i.e. stipes nth a summo.
Cum reciprocum divergentiarum series, magna quaevis variatio consequi possumus. Poteratne hoc vere perfici? Est sicut turris fictilis infinita - serius ocius corrabit pondere suo. In nostro schemate, minimae incurationes in collocatione scandali (et tarda incrementa in summarum partialium seriei) non multum longe sumus.
