Simplex exempla cum complexu morum i.e

Computatorium instrumentum magis magisque a doctis adhibetur ut arcana naturae diligenter detegat. Exemplar, cum experimento et theoria, tertia via ad studium mundi devenit.

Tribus abhinc annis, in Universitate Silesia, rationem instituebamus ad methodos computatrales in educatione componendas. Quam ob rem multae materiae didacticae maxime excitandae factae sunt, et facilius et altius multa argumenta investigare possunt. Python ut instrumentum principale eligitur, quod una cum potestate bibliothecarum scientificarum promptarum, probabiliter solutio est "experimentorum computatrum" cum aequationibus, imaginibus vel notitia. Una maxime interesting implementationum completae opificinae est Sapiens [2]. Integratio aperta est systematis algebrae computatrale cum lingua Pythone, ac etiam permittit ut statim incipias ludere utens navigatro interreti et una optionum accessus possibilium per ministerium nubilum [3] vel unius calculonis servi in ​​quo interactive versio huius articuli innititur [4].

Chaos in ecology

Primis annis in Universitate Oxoniensi, physicus Australiae Robert May theoreticae aspectus dynamicorum demographicorum studuit. Opus suum perstringit in charta quae in ephemeride Natura sub titulo provocativo "Simple Mathematica Exemplaria cum Complexis Edidit" [1]. Per annos, hic articulus unus ex laudatissimis operibus in oecologia theoretica factus est. Quae tanta cura in hoc opere?

Classicum problema dynamicorum hominum est calculare futuram multitudinem specierum particularium, data praesenti statu suo. Mathematice oecosystemata simplicissima censebantur in quibus vita unius generationis hominum unum tempus durat. Bonum exemplum est multitudo insectorum quae metamorphosin completam uno tempore sustinent, sicut papiliones. Tempus naturaliter dividitur in periodos discretas 2 correspondentes vitae hominum curriculis. Unde aequationes talem ecosystem describentes naturaliter habent sic dictum discreto tempore : i.e. t = 1,2,3…. De talibus dynamicis Robertus May, inter alia. Ratione sua oecosystematis simpliciorem fecit ad unam speciem cuius multitudo quadratica erat functionis incolarum superioris anni. Ubi hoc exemplar venire?

Simplicissima aequatio discreta describens evolutionem multitudinis exemplar linearis est;

where Ni is the abundance in the i-th season, and Ni+1 describes the population in the next season. Facile est videre hanc aequationem posse ad tres missiones ducere. Cum a = 1, evolutionis magnitudinem incolarum non mutabit, et <1 ad exstinctionem ducit, et casus a>1 significat incrementum incolarum illimitatum. Hoc erit in iniquitate naturae. Cum omnia in natura circumscripta sint, sensum hanc aequationem ad rationem pro limitata copiarum facultatum accommodare facit. Finge pestes granum edendum, quod omni anno idem est. Si insecta pauca sunt comparata ad quantitatem cibi quam repraesentent, ad plenam generativam potentiam reproducere possunt, constanti mathematice determinata a> 1. Sed, cum pestium numerus augetur, cibus vix et capacitas generativa decrescet. In casu critico existimari potest tot insecta nata esse ut omne frumentum edant antequam tempus repraesentet et hominum moriatur. Exemplar, quod consideret hunc modum limitis accessus ad alimentum, primum a Verhulst anno 1838. propositum fuit. In hoc exemplari, incrementum rate non constans est, sed ex statu incolarum pendet;

Relatio inter rate incrementum a et NI debet hanc proprietatem habere: si multitudo augetur, incrementum rate minui debet quia aditus ad cibum difficile est. Nimirum multa sunt munera cum hac proprietate: haec sunt munera summo-down. Verhulst proposuit sequenti relatione:

ubi a>0 et constans K>0 opes cibi designant ac capacitas ambitus appellatur. Quomodo mutatio in K ad incrementum hominum pertinet? Si K crescit, decrescit Ni/K. Iamvero hoc ducit eo quod 1-Ni/K crescit, quod modo crescit. Hoc significat rate incrementum augeri et multitudo celerius augeri. Modificamus igitur exemplar praecedens (1) posito quod mutationes incrementa sicut in aequatione (3). Tunc dabimus tibi aequationem

Haec aequatio scribi potest aequatione recursiva

ubi xi = Ni/K et xi+1 = Ni+1/K designant incolas rescalitatem tempore i et tempore i+1. Aequatio (5) logistica XNUMX appellatur.

Tam parva immutatione, exemplar nostrum analyse facile esse videatur. Sit scriptor reprehendo. Considera aequationem (5) parametri a = 0.5 incipiens ab initio incolarum x0 = 0.45. Valores sequentes incolarum uti possunt aequatione recursiva (5);

x₁= ax₀(1st₀)

x₂= ax₁(1st₁)

x₃= ax₂(1st₂)

Ad calculos faciliores (6), sequenti programmate uti possumus (Pythone scriptum est et currere potest, inter alia, in suggestu Sapientis. Commendamus te librum http://icse.us.edu legere. .pl/e-book.) , exemplum imitans nostrum:

CXXIII a = x = 0.45 for i in range (10);      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      imprimere x *

Valores successivos ipsius xi computamus et noticiam quod ad nullas tendant. Experiendo cum codice superiore, facile etiam perspicitur hoc verum esse quoad valorem initialem ipsius x0. Hoc significat incolas perpetuo mori.

In secundo analysi stadio, quantivis pretii parametri ae augemus (1,3). Evenit ut tunc series xi ad quamdam quantitatem x*> 0. INTERPRETATIO e parte oecologiae, dicere possumus magnitudinem incolarum in certo gradu esse fixam, quae non mutat de tempore in tempus. . Notatu dignum est valorem ipsius x* non pendere a statu initiali x0. Hic est effectus ecosystematis stabilitionis nixus - multitudo eius magnitudinem accommodat ad se pascendi facultatem. Mathematice, dicitur quod ratio stabili fixa tendit, i.e. satisfaciens aequalitati x = f(x) (hoc significat quod in proximo momento respublica idem est ac superiore momento). Cum Sage, hanc evolutionem graphice visualiszare possumus, incolas supra tempus machinans.

Talis effectus stabilizatio ab investigatoribus expectata est, et aequatio logistica (5) non multum attendisset nisi mirum esset. Evenit ut pro quibusdam valoribus parametri, exemplar (5) inaestimabili modo se gerit. Primo, status periodici et multiperiodici sunt. Secundo, omni tempore, multitudo inaequaliter mutat, sicut temere motum. Tertio, magna est sensibilitas ad condiciones initiales: duae fere indiscretae initiales status ad evolutionem hominum omnino diversam ducunt. Omnes hae notae propriae agendi sunt quae motus omnino incerti similis est et chaos deterministicum appellatur.

Investigemus hanc rem!

Primum valorem parametri a = 3.2 ponamus et evolutionem vide. Mirum videri potest quod hoc tempus multitudo non unum momentum attingit, sed duo, quae secundo quoque tempore succedunt. Sed evenit ut problemata non finiretur. Cum = 4, praedictio ratio non est. Inspiciamus figuram (2) vel ipsi numerorum seriem computantes utentes generabimus. Eventus mere incerti et satis diversi videntur esse in populationibus initiorum paulo differentibus. Sed obiiciat oportet attentus lector. Quomodo systema aequatione deterministica 1, etiam simplicissima, inaestimabiliter describi potest? Bene fortasse.

Pluma huius systematis admirabilis est eius sensus in condicionibus initialibus. Satis est duas initiales condiciones ab uno decies centenario differentes incipere, et in paucis tantum gradibus valores hominum omnino diversos habebimus. Sit scriptor reprehendo in computer:

a = 4.0

x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 PCC = [] for i in range (25); x = a*x*(1-x) u = a * u * (1-u) imprimere x, y*

Hic simplex exemplar evolutionis deterministicae est. Sed hic determinatus est fallax, id est mathematicus determinatus. Ex parte practica, systema inaestimabile agit, quod condiciones initiales mathematice exacte numquam constituere possumus. Re quidem vera omnia certa subtilitate determinantur: unumquodque instrumentum mensurae accurationem quandam habet, et hoc potest practicam praevidere in systematis deterministicis quae proprium chaos habent. Exemplum est tempestas exempla praevidens, quae semper proprietatem chaos exhibent. Inde est, quod longa tempestas tam mala praenosceretur.

Analysis systematum tenebrarum difficillimum est. Nihilominus multa mysteria chaos solvendo facillime ope simulationum computantium possumus. Figuram bifurcationis sic dictam trahamus, in qua valores parametri per axem abscissum ponimus, et puncta stabilia fixarum logisticae secundum axem ordinatim applicata. Puncta stabilia accipimus, simulando magnum numerum systematum simul et valores struentes post multa tempora sample. Ut coniicere possis, calculos multum postulat. S experimentum ad "pulchre" sequenti valores processus:

import numpy ut np * Nx = 300 Quod = 500 = np.linspace (0,1, Nx) = х + np.zeros ((Na, Nx)) = np.transpose (х) a = np.linspace (1,4, Na) a=a+np.zeros((Nx,Na)) for i in range (100); x=a*x*(1-x) pro a_, x_ c rar(a.flatten(), x.flatten())] punctum (pt, size = 1, figsize = (7,5)).

Consequens est figurae aliquid simile (3). Quomodo interpretationem hanc trahens? Exempli gratia, valor parametri a = 3.3, habemus 2 puncta certa stabilia (multitudo multitudo secundo tempore eadem est). Pro modulo autem a = 3.5 habemus 4 puncta constantia (quovis quarto tempore incolas totidem habet), et pro modulo a = 3.56 puncta constantia octo (quovis tempore octavus incolarum totidem habet). Sed pro modulo a≈ 8, puncta certa infinita habemus (populationis magnitudo nunquam repetit et mutatur in vagus modis). Sed cum programmate computatorio possumus scopum moduli mutare et infinitam structuram geometricam huius schematis manibus nostris explorare.

Hoc est summitatem iceberg. Milia chartarum scientificarum hac aequatione scripta sunt, sed tamen arcana sua abscondit. Ope simulationis computatralis, quin etiam ad superiores mathematicas rationes conferas, auctorem mundi dynamicorum nonline- rium ludere potes. Invitamus te ut legas versionem onlinem continentem singularia in multis iucunda proprietates aequationis logisticae et iucundas vias ut eas visualizes.

¹ Lex determinata est lex in qua futurum a primo statu singulariter determinatur. antonym est lex probabilis. ² In mathematicis "discretis" significat acquirere bona ex certa numerabili copia. Oppositum est continuum.